题目

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例2：

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例3：

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

提示:

1 <= nums.length <= 104
-104 <= nums[i] <= 104
nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组
-104 <= target <= 104

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/search-insert-position

题解

二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，就是写不好。

例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)，到底是right = mid呢，还是要right = mid - 1呢？

这里弄不清楚主要是因为 对区间的定义没有想清楚，这就是不变量。

要在二分查找的过程中，保持不变量，这也就是循环不变量（感兴趣的同学可以查一查）。

左闭右闭

定义 target 在左闭右闭的区间里，也就是**[left, right] 。**

这就决定了这个二分法的代码如何去写，大家看如下代码：

大家要仔细看注释，思考为什么要写while(left <= right)， 为什么要写right = mid - 1。

class Solution {
        public int searchInsert(int[] nums, int target) {
            int left = 0;
            int right = nums.length - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
            while (left <= right) {// 当left==right，区间[left, right]依然有效
                int mid = (left + right) / 2;

                if (nums[mid] == target) return mid; // 数组中找到目标值的情况，直接返回下标
                else if (nums[mid] > target) right = mid - 1;  // target 在左区间，所以[left, mid - 1]
                else if (nums[mid] < target) left = mid + 1; // target 在右区间，所以[mid + 1, right]


            }
            // 分别处理如下四种情况
            // 目标值在数组所有元素之前  [0, -1]
            // 目标值等于数组中某一个元素  return mid;
            // 目标值插入数组中的位置 [left, right]，return  right + 1 即可
            // 目标值在数组所有元素之后的情况 [left, right]，这是右闭区间， return right + 1 即可
            return right + 1;
        }
    }

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左闭右开

定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是**[left, right)** 。

那么二分法的边界处理方式则截然不同。

不变量是[left, right)的区间，如下代码可以看出是如何在循环中坚持不变量的。

大家要仔细看注释，思考为什么要写while (left < right)， 为什么要写right = mid。

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
      int left = 0;
      int right = nums.length; // 定义target在左闭右开的区间里，[left, right) 
      while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间
            int mid = (left + right)/2;

            if(nums[mid]==target) return mid; // 数组中找到目标值的情况，直接返回下标
            else if(nums[mid]>target) right=mid; // target 在左区间，在[left, mid)中
            else if(nums[mid]<target) left=mid+1; // target 在右区间，在 [mid+1, right)中

     
        }
        // 分别处理如下四种情况
        // 目标值在数组所有元素之前 [0,0)
        // 目标值等于数组中某一个元素 return mid
        // 目标值插入数组中的位置 [left, right) ，return right 即可
        // 目标值在数组所有元素之后的情况 [left, right)，这是右开区间，return right 即可
        return right;
    }

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